Fibonačijevi Brojevi i Paskalov Trougao

 

Google
Search WWW Search milan.milanovic.org

  Zlatni Presek

        

Zlatni presek se javlja kao proporcija rastucih oblika u prirodi i vekovima je privlacio paznju matematicara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duz podeli na takav nacin da je odnos veceg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema vecem: 0.6180339887 ... Koristicemo kao oznaku za Zlatni Presek Grcko slovo phi. Takodje, koristicemo slovo Phi za inverznu vrednost 1.6180339887... Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapazamo u samoj prirodi na mnostvu biljaka, koliko u opstem sklopu, toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima ( na primer ljutic, rastavic itd.) a u zapanjujucem savrsenstvu u ljusturama morskih puzeva. Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu covecjeg tela. Proporcionisanje covecje figure sastoji se u sto tacnijoj konstrukciji zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuce delove i dimenzije tela.
Danas je opste prihvaceno misljenje da je grcki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepsu proporciju za najskladnije oblike arhitekture. Proporcija zlatnog preseka je trazeni zakon lepote koji se nalazi u srazmernosti izmedju pojedinih delova i delova prema celini. Kroz istoriju pravougaonik stranica 1 i 1.6180339887... smatran je najprijatnijim za oci.Grcki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu. Prisutna je proporcija zlatnog preseka u njegovim radovima koji su pronadjeni u Atini, u Grckoj.

Fibonacijevi brojevi se javljaju u rasporedu listova zato sto Fibonacijevi brojevi grade najbolju celobrojnu aproksimaciju za Zlatni Presek. Deleci svaki broj u Fibonacijevoj seriji sa onim koji mu prethodi, dolazimo do sledecih brojnih odnosa :

1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666666666
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615
34/21 = 1.619047619
55/34 = 1.617647059
89/55 = 1.618181818
....................... ....................... ......................

Dobijamo odnose koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka.

Deleci svaki broj u Lukasovoj seriji sa onim koji mu prethodi, doci cemo do sledeceg niza brojnih odnosa :

3/1 = 3
4/3 = 1.3333333333
7/4 = 1.75
11/7 = 1.571428571
18/11 = 1.636363636
29/18 = 1.611111111
47/29 = 1.620689655
76/47 = 1.617021277
123//76 = 1.618421053
199/123 = 1.617886179
......... ......... .........

Na ovaj nacin se takodje dobijaju odnosi koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka :

        

Phi dato sa nekoliko hiljada decimalnih mesta :

Phi ima vrednost (sqrt(5)+1)/2 a phi je (sqrt(5)-1)/2 .I Phi i phi imaju identicne decimalne cifre posle decimalne tacke. Vrednost za phi pocinje sa 0.6... umesto sa 1.6...

        

        

       Postoji interesantan niz jednacina za Fibonacijeve brojeve :

      U opstem slucaju imamo :

      Za Lukasove brojeve vazi :

      Imamo sledece relacije izmedju Fibonacijevih brojeva i Zlatnog Preseka :

      Ili u opstem slucaju :

Mehanizam neprekidne podele ili zlatnoga preseka igra posebnu ulogu u likovnom stvaralastvu, a ponajvise u oblasti apstraktnih geometrijskih oblika, kombinovanih kroz konstrukciju, funkciju i merilo coveka u odredjene prostorne celine. U sesnaestom veku Luka Pacoli (1445-1514), geometar i prijatelj velikih Renesansnih slikara, ponovo je otkrio " zlatnu tajnu". Luka Pacoli je bio veliki pobornik ideje zlatnog preseka, sto se vidi iz imena njegove rasprave o " Bozanskoj Proporciji " koja se sastoji iz tri nezavisna rada ( 1509 ). Leonardo Da Vinci (1451-1519) je pokazao veliki interes za matematiku umetnosti i prirode. On je, kao i Pitagora, uradio kompletnu studiju figure coveka i pokazao kako su njeni razliciti delovi u proporciji zlatnog preseka.
Dok u muzici dobro poznavanje nauke o harmoniji prethodi vestini komponovanja, dotle u likovnim umetnostima i arhitekturi, preovladjuje misljenje da poznavanje proporcija nije neophodno pa da cak i sputava intuitivni tok slobodnog stvaralastva. Ipak najistaknutiji savremeni arhitekti pobijaju takvo misljenje. Na mnogim danasnjim svetskim skolama za arhitekturu i primenjenu umetnost, problemu proporcija u kompoziciji posvecuje se ozbiljna paznja.

A. Cajzing ( 1810-1876 ) je formulisao slozen estetski sistem zlatnog preseka svodeci ga na arhitekturu: zlatni presek gospodari u arhitekturi, zlatni presek gospodari u prirodi; zlatni presek gospodari u arhitekturi zato sto gospodari u prirodi. Zoltovski misli da je kreacija arhitekte deo stvaralastva prirode.

        

        

        

        

  2001-2005 Radoslav Jovanovic                 created:  January 2005.