Fibonačijevi Brojevi i Paskalov Trougao

 

Google
Search WWW Search milan.milanovic.org

Aritmeticki trougao drugog reda


Paskalov trougao je osnovni brojni obrazac u prirodi. Njegove osnove su skup koeficijenata binomnih razvoja; po Paskalovom trouglu se razmnozava ziva celija a brojevi trougla sadrze i tajne diferencijalnog i integralnog racuna. U kolonama Paskalovog trougla krije se elektronska konfiguracija atoma. Brojevi ovog jedinstvenog prirodnog obrasca definisu raspored planeta Suncevog sistema i strukturu jezgra atoma.Iz osnovnog Paskalovog trougla mogu se izvesti i trouglovi visih redova. Desna prva kolona Paskalovog brojnog trougla drugog reda umesto niza jedinica bice niz dvojki. Paskalov trougao drugog reda dat je tabelarno a brojevi koji ga cine su u istom medjusobnom odnosu kao i brojevi osnovnog trougla. Zbir brojeva na osnovama trougla je trostruki niz geometrijske progresije : 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,... = 3 * ( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...).

     

1
2
3
1
3
2
6
1
4
5
2
12
1
5
9
7
2
24
1
6
14
16
9
2
48
1
7
20
30
25
11
2
96
1
8
27
50
55
36
13
2
192
......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........

     

Drugu kolonu izvedenog Paskalovog trougla dobicemo pomocu sledece brojne figure - duplog trougla koji cine jedinice, to jest prva kolona osnovnog Paskalovog trougla :

     

1
1
1 1 1
3
1 1 1 1 1
5
1 1 1 1 1 1 1
7
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

     

Sumiranje po osnovama daje drugu kolonu izvedenog aritmetickog trougla tj. kolonu neparnih brojeva: 1,3,5,7,9,11 ...Prikazacemo u trougaonoj tabeli figurativni niz brojeva druge kolone osnovnog Paskalovog trougla:

     

1
1
1 2 1
4
1 2 3 2 1
9
1 2 3 4 3 2 1
16
1 2 3 4 5 4 3 2 1
25
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

     

Sumiranje po osnovama daje trecu kolonu izvedenog aritmetickog trougla, kolonu takozvanih kvadratnih brojeva : 1,4,9,16,25,36, ... Kvadratni brojevi su simbol kvadrata i povrsine.Trougao u ravni cije su sve kolone nizovi brojeva trece kolone osnovnog Paskalovog trougla je dat u sledecoj formi :

     

1
1
1
3
1
5
1
3
6
3
1
14
1
3
6
10
6
3
1
30
1
3
6
10
15
10
6
3
1
55
1
3
6
10
15
21
15
10
6
3
1
91
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

     

Ovoga puta sumiranje brojeva po osnovama gornjeg trougla rezultuje brojevima cetvrte kolone izvedenog aritmetickog trougla: 1,5,14,30,55,91,... Isti postupak se moze primeniti i na ostale brojne kolone izvedenog aritmetickog trougla. Na taj nacin se gradi n- dimenzioni prostor a integracija je veza izmedju susednih kolona izvedenog aritmetickog trougla.

Veza izmedju osnovnog Paskalovog trougla i Paskalovog trougla drugog reda slikovito se sagledava iz cinjenice da se Paskalov trougao drugog reda moze dobiti sabiranjem odgovarajucih clanova dva osnovna Paskalova trougla, od kojih je jedan pomeren (u kasnjenju ) u odnosu na prvi:

     

     

1
1 1 1
1 2 1 1 1
1 3 3 1 1 2 1
...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... + ..... ...... ..... ..... ..... .....

     

Igrajuci se brojevima i prostorom ukazacemo na vezu Fibonacijevih brojeva i Paskalovog trougla drugog reda. Prikazacemo brojeve Paskalovog trougla drugog reda u sledecem rasporedu i sumirajuci brojeve na osnovama dobicemo Fibonacijeve brojeve:

     

1
1
2
2
1 2
3
3 2
5
1 5 2
8
4 7 2
13
1 9 9 2
21
..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... .....

     

Ponovo igrajuci se brojevima i prostorom, ukazacemo i na vezu Lukasovih brojeva i Paskalovog trougla drugog reda. Prikazacemo brojeve Paskalovog trougla drugog reda u sledecem rasporedu sumiracemo brojeve na osnovama i dobicemo Lukasove brojeve :

     

2
2
1
1
1
2
3
1
3
4
1
4
2
7
1
5
5
11
1
6
9
2
18
1
7
14
7
29
1
8
20
16
2
47
..... ...... ...... ..... ..... ..... ..... .....

     

Sumirajuci osnove Paskalovog trougla drugog reda takodje se dobijaju Fibonacijevi brojevi:

     

2
2
1
2
3
3
2
5
1
5
2
8
4
7
2
13
1
9
9
2
21
5
16
.....
.....
1
14
.....
.....
6
.....
.....
1
.....
.....
.....
.....

     

Sumirajuci brojeve na osnovama Paskalovog trougla drugog reda mogu se dobiti i Lukasovi brojevi :

     

1
1
2
1
3
3
1
4
2
4
1
7
5
5
1
11
2
9
6
1
18
7
14
.....
.....
2
 16
.....
.....
9
.....
.....
2
.....
.....
.....
.....

     

Osnove Paskalovog trougla drugog reda mozemo dobiti sabirajuci brojeve na uzastopnim osnovama Paskalovog osnovnog trougla :

     

1 1 1 1 2 1
1 1 1 2 1 1 3 3 1
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
1 2 1 3 2 1 4 5 2

     

Na isti nacin dobijaju se i ostale osnove Paskalovog trougla drugog reda. Na taj nacin potvrdjuje se veza izmedju Paskalovog trougla drugog reda i osnovnog Paskalovog trougla. Osim trougla drugog reda iz osnovnog Paskalovog trougla mogu se izvesti i brojni trouglovi visih redova.

     

        

        

        

 © 2001-2005 Radoslav Jovanovic                 kreirano:  Februara 2005.