Relacija izmedju Fibonacijevih brojeva i Zlatnog preseka

     

      Zlatni presek je proporcija koja se cesto spominje kada se razmatraju odnosi rastojanja kod jednostavnih geometrijskih figura. Jedna od definicija za phi ( konstanta Zlatnog preseka : 0.6180339...) data je jednacinom :

     

     

Ili

     

     

gde je Phi=1+phi= 1.6180339...

Postoje iznenadjujuce veze izmedju Zlatnog preseka i Fibonacijevih i Lukasovih brojeva. Da bi smo to ilustrovali uvescemo operator konacnih diferencija koji povezuje funkciju

     

     

sa funkcijom

     

     

Lako je proveriti da je

     

     

gde je D operator diferenciranja.

U formulama za Fibonacijeve brojeve koristimo operatorsku jednacinu

     

     

koja je analogna sa dobro poznatom jednacinom :

     

     

Ovde imamo identitet :

     

     

Kao sto cemo videti, obicno koristimo sledece operatorske jednacine za Fibonacijeve i Lukasove brojeve :

     

     

i

     

     

Koristeci ove jednacine, mozemo pisati :

     

     

Dobijamo sledeci niz jednacina :

     

     

ili u opstem slucaju :

     

     

Koristeci identitet izmedju H i phi , mozemo pisati:

     

     

Kao sto znamo :

     

     

Za Lukasove brojeve dobijamo sledecu jednakost:

     

     

     

     

  © 2001-2002 Radoslav Jovanovic        rasko55@ptt.yu                 updated: 21 February 2002.