Fibonačijevi Brojevi i Paskalov Trougao

 

Google
Search WWW Search milan.milanovic.org

Rade Nogo :   Konstrukcija pravilnog petougla

 

Ako je neka duž podeljena na dva nejednaka dela tako da je veći deo geometrijska sredina cele duži i manjeg dela, onda se kaže da je ta duž podeljena po zlatnom preseku.

 

Prema ovoj definiciji, duž  AB = a  je podeljena po zlatnom preseku na dva dela, x  i     (a-x), ako postoji proporcija

 

 

Gde je x  veći odsečak date duži koji je dobijen ovakvom podelom. (vidi sliku 1.)

 

                     

 

 

Pokažimo kako se duž  AB = a  deli po zlatnom preseku,

 

AC > AB   i   CD = a/2,  to je  AD > AB/2  to jest  AM > MB  odnosno x > (a-x).

 

Konstrukcija :

 

Kroz jednu krajnju tačku duži AB  ( na primerB ), treba konstruisati normalu na AB, pa na ovoj normali odrediti tačku C  tako da je BC=a/2. Krug poluprečnika  BC  sa centrom u tački  C,  seče duž AC  u tački D  tako da je AD=x, a luk, sa središtem u tački A, poluprečnika  AD=x, seče datu duž  AB  u tački  M , koja je deli po zlatnom preseku.

 

 

Dokaz:

 

Prema slici 1. imamo AD*AE=AB2    (potencija tačke  A  na krug), odakle je:

 

 

Odakle dobijamo proporciju

 

iz koje se vidi da tačka   M  deli duž AB  po zlatnom preseku jer je veći  odsečak   x   te duži geometrijska sredina cele duži I manjeg odsečka   (a-x).

 

Pokažimo još kako se izračunava odsečak x  ako znamo brojnu vrednost dužine duži  AB=a . Sa slike 1. imamo:

 

                                     

Konstrukcija pravilnog desetougla:

 

Da bi smo pokazali kako se konstruiše pravilan desetougao upisan u krugu poluprečnika R, dokazaćemo sledeću teoremu:

Teorema 1:

 

Stranica pravilnog desetougla upisanog u krugu, jednaka je većem odsečku poluprečnika kruga podeljenog po zlatnom preseku.

 

 

Dokaz:

 

Karakterističan trougao pravilnog desetougla je jednakokraki trougao  ABO  sa uglom pri vrhu od  360 , slika2.

 

                          

                               

 

 

Zbog toga njegovi uglovi na osnovici   AB  iznose po  720 . Stranica AB=x  ovoga trougla je stranica desetougla. Zaista, ako konstruišemo simetralu   AD  ugla kod temena  A , dobićemo jednakokrake trouglove  ABD   i  AOB   ( koji su slični jer imaju po dva jednaka ugla ), pa je zato  OD=AD=AB=x . No, kako je  trougao  AOB  sličan trouglu  ABD , to je

 

OA : AB = AB : BD

 

Ili s obzirom na oznake prema slici,

 

R : x = R : ( R-x )                                                                                                 ( 1.1)   

 

Kako je  OD > DB , odnosno  x >  ( R-x )  iz gornje proporcije , zaključujemo da je stranica   AB = x  pravilnog desetougla upisanog u krugu jednaka većem odsečku poluprečnika   R  kruga podeljenog po zlatnom preseku, čime je teorema dokazana.

 

Konstrukcija:

 

Treba konstruisati prečnik kruga   MN  kruga i na njemu normalni poluprečnik  OA  ( slika 3. ) a zatim spojimo središte  D  poluprečnika  ON  sa tačkom  A , pa konstruišemo krug poluprečnika   DO = R/2   sa središtem u tački  D, koji seče duž   AD  u tački   E . Duž  AE je stranica pravilnog desetougla upisanog u taj krug.

 

 

 

 

              

               

 

 

 

Dokaz:

 

Obeležimo duž  AE  sa x . Sada je prema slici 3. duž   AE = x , duž  AF = x + R  i  OA = R   pa prema osobini potencije tačke A na krug    k(D, R/2)  sledi :

 

 

Odakle dobijamo proporciju :

 

R : x = x : ( R-x )                                                                                                   (1.2)

 

Ako uporedimo proporcije ( 1.1 ) i ( 1.2 ), vidimo da je duž  AE = x   zaista stranica pravilnog desetougla upisanog u krug poluprečnika  R .

 

Izračunavanje stranice  a10   pravilnog desetougla prema slici 3. sledi:

 

 

Rešenje ove kvadratne jednačine je:

 

 

Konstrukcija pravilnog petougla

 

Da bismo konstruisali pravilan upisan petougao, treba dati krug podeliti na pet jednakih delova, pa uzastopne deone tačke spojiti tetivama. No, da bismo krug podelili na pet jednakih delova, treba odrediti dužinu tetive koja odgovara luku jednakom petini kruga, odnosno treba odrediti stranicu pravilnog upisanog petougla. Iako ovu stranicu možemo dobiti spajanjem svakog drugog temena pravilnog desetougla, čiju smo konstrukciju već proučili, na ovom mestu pokazaćemo kako se ona neposredno konstruiše. U tu svrhu dokazaćemo sledeću teoremu.

 

Teorema:

 

Kvadrat stranice pravilnog upisanog petougla jednak je zbiru kvadrata stranica pravilnog šestougla i pravilnog desetougla koji su upisani u istom krugu.

 

Dokaz:

 

Posmatrajmo sliku 4.

Ako u jednakokrakom trouglu  ABO  ugao pri vrhu iznosi 720, osnovica  AB  ovog trougla je stranica upisanog petougla. Ako u jednakokrakom trouglu  OBD  ugao pri vrhu iznosi 360 , osnovica BD  je stranica pravilnog upisanog desetougla. Kako je ugao AOB =  uglu OBD = 720  to je  BD || AO  , pa ako konstruišemo  Ox || AB  I odredimo presek   C  poluprave BD  sa polupravom  Ox, dobijemo paralelogram OABC , odakle je  BC = AO = R = a6  .

Ako sada iz tačke C  konstruišemo tangentnu duž CE  imamo :

 

 

Što prema proporciji (1.1) znači da je  CE = a10 .

 

 

                          

 

Međutim kako je trougao  OCE  pravougli   to je

 

                        

Čime je dokaz teoreme završen.

 

Konstrukcija:

 

Treba konstruisati prečnik  AB  kruga poluprečnika R  ( slika 5.), i na njemu normalan poluprečnika   OC,  pa konstruisati luk poluprečnik  DC  sa središtem u tački  D  koji seče  prečnik   AB  u tački M . Duž  MC  je stranica pravilnog petougla upisanog u krugu   k( O,R ) .

 

Dokaz:

 

Trougao  OMC  je pravougli pa je

 

MC2 = OC2 + OM2

 

OC = R =a6   

 

I kako je DM = DC, a DO = DE = R/2,  to je  OM = EC = a10 ,  te prethodna jednakost postaje

 

 

 

            

 

 

 

Na osnovu prethodne teoreme duž    MC2= a5 .

 

Iz relacije

 

 

Može se izračunati stranica pravilnog petougla   a5

 

 

Dolazimo do vrednosti

 

 

Gde je 

 

 

vrednost proporcije zlatnog preseka.

 

 

 

        

        

    Rade Nogo      Tehnicka skola Lajkovac       kreirano:  Septembra 2005.