FIBONACIJEVI BROJEVI

I PASKALOV TROUGAO


     

Direktnim mnozenjem moze se lako proveriti tacnost sledecih binomnih razvoja :

     

(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1*a + 1*b
(a+b)2 = 1*a2 + 2*ab + 1*b2
(a+b)3 = 1*a3 + 3*a2b + 3*ab2 + 1*b3
(a+b)4 = 1*a4 + 4*a3b + 6*a2b2 + 4*ab3 + 1*b4

     

Upotrebimo li polja racunske ploce da u njih smestimo brojeve iz gornjih binomnih razvoja, nastaje sledeci brojni trougaoni raspored brojeva :

     

1
1
1
1
2
1
2
1
4
1
3
3
1
8
1
4
6
4
1
16
1
5
10
10
5
1
32
1
6
15
20
15
6
1
64
1
7
21
35
35
21
7
1
128
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....

     

Postoje neki dokazi da je Arapski astronom,pesnik i matematicar Omar Hajam poznavao ovaj brojni trougaoni raspored jos u XI veku. Verovatno je brojni trougao krenuo iz Kine preko Arapskog sveta u Evropu. Kineski prikaz binomnih koeficijenata, koji cesto nazivaju i Paskalovim trouglom, jer ga nalazimo u istoimenom Paskalovom posthumnom delu ( 1665. godine ) u vezi sa figurativnim brojevima, zabelezen je prvi put na naslovnoj strani jedne davno stampane Evropske aritmetike od Apianusa ( 1527. godine ). Taj trougao je krajemXVII veka postao sredisnja tacka razvoja tri grane matematike: proucavanja beskonacnih redova, racuna konacnih diferencija i teorije verovatnoce.

Prva kolona aritmetickog trougla je kolona jedinica.Figurativno jedinica predstavlja tacku. Prikazimo slikovito trougao cije su sve kolone nizovi jedinica :

     

1
1
1 1 2
1 1 1 3
1 1 1 1 4
1 1 1 1 1 5
1 1 1 1 1 1 6
1 1 1 1 1 1 1 7
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

     

Sumiranje po osnovama daje drugu kolonu aritmetickog trougla tj. kolonu prirodnih brojeva: 1,2,3,4,5,6,7 ... Niz prirodnih brojeva je figurativno prava linija. Prikazacemo u trougaonoj tabeli ovaj figurativni niz :

     

1
1
2
1
3
3
2
1
6
4
3
2
1
10
5
4
3
2
1
15
6
5
4
3
2
1
21
7
6
5
4
3
2
1
28
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....

     

Sumiranje po osnovama daje trecu kolonu aritmetickog trougla, kolonu takozvanih trougaonih brojeva : 1,3,6,10,15,21,28 ... Trougaoni brojevi su simbol trougla i povrsine.Trougao u ravni cije su sve kolone nizovi trougaonih brojeva je dat u sledecoj formi :

     

1
1
3
1
4
6
3
1
10
10
6
3
1
20
15
10
6
3
1
35
21
15
10
6
3
1
56
28
21
15
10
6
3
1
84
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....

     

Ovoga puta sumiranje brojeva po osnovama gornjeg trougla rezultuje tetraedarskim brojevima cetvrte kolone aritmetickog trougla. Niz ovih brojeva figurativno predstavlja tetraedre - piramide, a dimenziono zapreminu : 1,4,10,20,35,56,84 ...Isti postupak se moze primeniti i na ostale brojne kolone aritmetickog trougla. Na taj nacin se gradi n- dimenzioni prostor a integracija je veza izmedju susednih kolona aritmetickog trougla.

U "Knjizi o racunaljkama" Fibonaci je izlozio praktican aritmeticki problem : par zeceva je stavljen u ogradjeni prostor. Zecevi dostizu polnu zrelost i radjaju novi par zeceva svakog meseca. Ako zecevi ne umiru, postavlja se pitanje koliko ce biti pari zeceva za dvadeset meseci? Odgovor upoznaje citaoca sa nizom brojeva :

     

1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
.....

     

kojima je Francuski matematicar Edvard Lukas ( 1842-1899 ) dao ime Fibonacijevi brojevi i otkrio mnoge njihove vazne primene. Fibonacijevi brojevi su najjednostavnija vrsta rekurzionog niza. U ovom rekurzionom nizu za formiranje clana reda n moramo znati njegovu vezu sa dva clana koja mu prethode :

     

F ( n ) = F ( n - 1 ) + F ( n - 2 )

     

Sumirajuci brojeve na dijagonalama Paskalovog trougla mogu se dobiti Fibonacijevi brojevi :

     

1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
1
3
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
8
1
6
15
20
15
6
1
13
1
7
21
35
35
21
7
1
21
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....

     

Mozemo naslutiti gde je Fibonaci na svojim putovanjima naisao na spomenuti niz ako napisemo dupli Paskalov trougao i sumiramo delove :

     

1
1
1 1
2
1 1 1
3
1 1 2 1
5
1 1 3 2 1
8
1 1 4 3 3 1
13
1 1 5 4 6 3 1
21
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

     

Igrajuci se brojevima i prostorom ponovo cemo ukazati na vezu aritmetickog trougla i Fibonacijevih brojeva. Prikazacemo Paskalov trougao u sledecoj varijanti i sabracemo brojeve po osnovama:

     

1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
1
3
1
5
1
4
3
8
1
5
6
1
13
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

     

Sumirajuci osnove Paskalovog trougla takodje se dobijaju Fibonacijevi brojevi: R.Knott: The Fibonacci Numbers in Pascal's Triangle.

Postoji povratna veza Fibonacijevih brojeva i aritmetickog trougla. Ima mnostvo rekurzionih formula za Fibonacijeve brojeve :

     

F(n+1)
=
1*F(n)
+
1*F(n-1)
F(n+2)
=
1*F(n)
+
2*F(n-1)
+
1*F(n-2)
F(n+3)
=
1*F(n)
+
3*F(n-1)
+
3*F(n-2)
+
1*F(n-3)
F(n+4)
=
1*F(n)
+
4*F(n-1)
+
6*F(n-2)
+
4*F(n-3)
+
1*F(n-4)
F(n+5)
=
1*F(n)
+
5*F(n-1)
+
10*F(n-2)
+
10*F(n-3)
+
5*F(n-4)
+
1*F(n-5)
F(n+6)
=
1*F(n)
+
6*F(n-1)
+
15*F(n-2)
+
20*F(n-3)
+
15*F(n-4)
+
6*F(n-5)
+
1*F(n-6)
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

     

Vidimo da je u ove rekurzione relacije za Fibonacijeve brojeve ugradjena struktura Paskalovog brojnog trougla sto nedvosmisleno ukazuje na vezu koja postoji izmedju brojeva Paskalovog trougla i niza Fibonacijevih brojeva.

Slikovitom kombinacijom Fibonacijevih brojeva mogu se dobiti takozvani Lukasovi brojevi, dati rekurzionom relacijom :

     

L(n) = L(n-1) + L(n-2)

     

Evo te kombinacije Fibonacijevih brojeva koja u zbiru daje Lukasove brojeve:

     

1
2
3
5
8
13
21
34
55
....
1
1
2
3
5
8
13
21
....
1
3
4
7
11
18
29
47
76
....

     

Obrazujmo niz od zbira cetiri uzastopna Fibonacijeva broja

     

F(n) + F(n+1) + F(n+2) + F(n+3)

     

tj

     

(1+1+2+3) , (1+2+3+5) , (2+3+5+8) , (3+5+8+13) , (5+8+13+21) , .....

     

Dobijamo niz Lukasovih brojeva L(n+3)

     

7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 , ....

     

Vezu izmedju Fibonacijevih i Lukasovih brojeva predstavicemo slikovito i tako sto cemo obrazovati niz od zbira cetiri uzastopna Lukasova broja

     

L(n) + L(n+1) + L(n+2) + L(n+3)

     

tj.

     

(1+3+4+7) , (3+4+7+11) , (4+7+11+18) , (7+11+11+18) , (7+11+18+29) , .....

     

Dobijamo Fibonacijev niz brojeva 5 * F(n+3)

     

5 * ( 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , ...... )

     

   2001-2002 Radoslav Jovanovic        rasko55@ptt.yu                 updated:  21 February 2002.