LUKASOVI BROJEVI I PASKALOV TROUGAO

     

Lucas

Fransis Eduard Anatol Lucas je rodjen 4 Aprila 1842 u Amiensu, Francuska, gde je i stekao obrazovanje. Nakon toga je radio u Pariskoj Opservatoriji. Sluzio je kao artiljerijski oficir u Francusko - Pruskom ratu ( 1870 - 1871 ) a zatim postao profesor matematike na Lycée Saint Louis u Parizu. Najpoznatiji je po svojim rezultatima u oblasti teorije brojeva. Proucavao je Fibonacijevu seriju brojeva i njoj pridruzenu Lukasovu seriju. Lukasova serija brojeva se definise skoro identicno kao Fibonacijeva serija brojeva - svaki Lukasov broj je zbir prethodna dva Lukasova broja. Razlika u definiciji je sto Lukasova serija pocinje sa 2 i 1 umesto sa 0 i 1:

L(n+1) = L(n-1) + L(n) ,
ako je n>1 and L(0) = 2, L(1) = 1

Ovo je na izgled mala razlika ali se proucavanjem Lukasove serije uvidja da je razlika ustvari kvalitativna:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, .........

Prema nekim autorima Lukas je pronasao Binet-ovu formulu :

Osim u oblasti teorije brojeva Lukas je poznat i u zabavnoj matematici po svom problemu Hanojska Kula. Njegovo delo Récréations mathématiques ( 1882 - 1894 ) je postalo klasika u toj oblasti.Umro je 3 Oktobra 1891 u Parizu.

Lukasovi brojevi imaju osobine slicne osobinama Fibonacijevih brojeva. Svaki novi clan Lukasovog niza brojeva jednak je zbiru dva prethodna clana. Takodje, kolicnik dva uzastopna Lukasova broja tezi vrednosti Zlatnog Preseka :

Lukasovi brojevi se javljaju u razlicitim formulama za izracunavanje Fibonacijevih brojeva. Naprimer :

5*F(n+2)
=
1*L(n)
+
3*L(n+1)
5*F(n+3)
=
3*L(n)
+
4*L(n+1)
5*F(n+4)
=
4*L(n)
+
7*L(n+1)
5*F(n+5)
=
7*L(n)
+
11*L(n+1)
5*F(n+6)
=
11*L(n)
+
18*L(n+1)
............... ............... ............... ............... ...............
5*F(n+k)
=
L(k-1)*L(n)
+
L(k)*L(n+1)

Moguce je i Lukasove brojeve izraziti pomocu Fibonacijevih brojeva , sto ukazuje na njihovu medjusobnu povezanost. Postoji beskonacna serija rekurzionih relacija za izracunavanje Lukasovih brojeva pomocu Fibonacijevih brojeva. Koeficijenti u ovim jednacinama grade niz Lukasovih brojeva :

L(n+2)
=
1*F(n)
+
3*F(n+1)
L(n+3)
=
3*F(n)
+
4*F(n+1)
L(n+4)
=
4*F(n)
+
7*F(n+1)
L(n+5)
=
7*F(n)
+
11*F(n+1)
L(n+6)
=
11*F(n)
+
18*F(n+1)
............... ............... ............... ............... ...............
L(n+k)
=
L(k-1)*F(n)
+
L(k)*F(n+1)

Veza izmedju Lukasovih i Fibonacijevih brojeva je mnogostruka. Prethodnim rekurzionim jednacinama simetricne su neke druge grupe jednacina. Kao prvi primer navodimo rekurzione jednacine koje sluze za izracunavanje Lukasovih brojeva ali sa Fibonacijevim brojevima kao koeficijentima :

L(n+2)
=
1*L(n)
+
1*L(n+1)
L(n+3)
=
1*L(n)
+
2*L(n+1)
L(n+4)
=
2*L(n)
+
3*L(n+1)
L(n+5)
=
3*L(n)
+
5*L(n+1)
L(n+6)
=
5*L(n)
+
8*L(n+1)
............... ............... ............... ............... ...............
L(n+k)
=
F(k-1)*L(n)
+
F(k)*L(n+1)

Kao drugi primer navodimo rekurzione jednacine za izrazavanje Fibonacijevih brojeva preko , takodje, Fibonacijevih brojeva. Navodimo niz rekurzionih formula koje ilustruju uzajamni odnos Fibonacijevih brojeva :

F(n+2)
=
1*F(n)
+
1*F(n+1)
F(n+3)
=
1*F(n)
+
2*F(n+1)
F(n+4)
=
2*F(n)
+
3*F(n+1)
F(n+5)
=
3*F(n)
+
5*F(n+1)
F(n+6)
=
5*F(n)
+
8*F(n+1)
............... ............... ............... ............... ...............
F(n+k)
=
F(k-1)*F(n)
+
F(k)*F(n+1)

     

Poznato je da se Fibonacijevi brojevi javljaju kao suma "osnova" Paskalovog trougla:

     

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1                  
1   1 1              
2     1 2 1          
3       1 3 3 1      
4         1 4 6 4 1  
5           1 5 10 10 5
6             1 6 15 20
7               1 7 21
8                 1 8
9                   1
  1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

     

Ovde je prikazana alternativna forma Paskalovog Trougla sa duplim osnovama gde se takodje dobijaju Fibonacijevi brojevi:

     

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1                  
1   1                
2   1 1              
3     1 1            
4     1 2 1          
5       1 2 1        
6       1 3 3 1      
7         1 3 3 1    
8         1 4 6 4 1  
9           1 4 6 4 1
  1 2 3 5 8 . . . . .

     

Sumiranjem brojeva duplih osnova Paskalovog Trougla mogu se dobiti i Lukasovi brojevi:

     

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0     1              
1   1 1              
2       1 1          
3     1 2 1          
4         1 2 1      
5       1 3 3 1      
6           1 3 3 1  
7         1 4 6 4 1  
8             1 4 6 4
9           1 5 10 10 5
  . 1 3 4 7 11 . . . .

     

Postoji reciprocna veza izmedju Lukasovih brojeva i koeficijenata Paskalovog Trougla. Postoji beskonacno mnogo rekurzionih relacija za Lukasove brojeve:

     

L(n+1)
=
1*L(n)
+
1*L(n-1)
L(n+2)
=
1*L(n)
+
2*L(n-1)
+
1*L(n-2)
L(n+3)
=
1*L(n)
+
3*L(n-1)
+
3*L(n-2)
+
1*L(n-3)
L(n+4)
=
1*L(n)
+
4*L(n-1)
+
6*L(n-2)
+
4*L(n-3)
+
1*L(n-4)
L(n+5)
=
1*L(n)
+
5*L(n-1)
+
10*L(n-2)
+
10*L(n-3)
+
5*L(n-4)
+
1*L(n-5)
L(n+6)
=
1*L(n)
+
6*L(n-1)
+
15*L(n-2)
+
20*L(n-3)
+
15*L(n-4)
+
6*L(n-5)
+
1*L(n-6)
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

     

Ocigledno je da je struktura Paskalovog Trougla ugradjena u ove rekurzione relacije, koje sasvim pouzdano ukazuju na postojanje veze izmedju koeficijenata Paskalovog Trougla i Lukasovih brojeva.

     

     

KALKULATOR LUKASOVIH BROJEVA
-1475 < Ceo broj < +1475

     

clan Lukasove Serije je .

     

     

     

     

     

  2001-2003 Radoslav Jovanovic        rasko55@ptt.yu                 updated:  February 2003.