DEOBA ZIVE CELIJE I PASKALOV TROUGAO


     

     Jos je Leonardo Fibonaci u XIII veku istrazivao brojne zakone razmnozavanja zivog organizma. Zanimljiv je redosled brojeva do kojeg je dosao proucavajuci razmnozavanje zeceva. Misaoni eksperiment je sledeci :

Covek kupuje par zeceva i uzgaja njihovo potomstvo po sledecem redu : roditeljski par zeceva dobija posle prve godine par mladih a nakon druge godine ponovo jedan par. Tada se kod roditelja prekida dalje razmnozavanje. Ovaj nacin razmnozavanja vazi i za sve potomke roditeljskog para. Svaki novi par zeceva dace u dve uzastopne godine po jedan par mladih a nakon toga ce njegovo razmnozavanje biti prekinuto.

     

razmnozavanje zeceva

     

Za roditeljski par zeceva napisacemo u prvom redu 1 ( 1 oznacava jedan par zeceva ). Za par koji se rodi nakon prve godine ( prva generacija ) napisacemo u drugom redu takodje broj 1. Posle prve godine mlade dobijaju i roditeljski par zeceva i par prve generacije. U drugoj generciji radjaju se dva para zeceva. Zato u trecem redu pisemo vroj 2. Ovde svaki red odgovara jednoj godini i nakon tri godine imamo brojni niz 1, 1, 2 . Roditeljska generacija iskljucuje se iz daljeg razmnozavanja. U cetvrtoj godini mlade dobijaju iz poslednja dva reda, to jest jedan par prve generacije i dva para deuge generacije. Zato u cetvrtom redu pisemo broj 3. Brojni niz je sada 1, 1, 2, 3 . Ovde prestaje razmnozavanje para zeceva prve generacije. Niz brojeva koji se ovako dobija je takozvani niz Fibonacijevih brojeva :

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

      Trebalo je da prodje sedamdeset i pet godina od dana kada su braca Hans i Zaharias Jansen, Holandski trgovci, spojili dva sociva i tako napravili prvi " mikroskop " pa do njegove upotrebe za otkrice zive celije ( 1665 godine ). Posmatrajuci tanko isecene reznjeve plute Engleski lekar Robert Huk je u mrtvom biljnom tkivu zapazio supljine po obliku slicne onima u pcelinjem sacu i nazvao ih celijama. On je video samo prazne celijske prostore oivicene celijskim membranama, bez celijskog sadrzaja, ali je prikazao celiju kao osnovnu strukturnu jedinicu organizma.

     Kao osnovna bioloska organizacija celija je sposobna da samostalno produzi zivot zahvaljujuci svojoj sposobnosti da zameni ili nadoknadi svoju supstanciju. Celija moze predstavljati kompletan organizam, kao sto je slucaj sa jednocelijskim organizmima, ali ona najcesce predstavlja osnovnu jedinicu zivota u sastavu tkiva i organa, sto je slucaj kod svih visecelijskih organizama.

     Teorija o celiji je za biologiju ono sto je atomska teorija za hemiju i fiziku. Deoba celije je jedan od najvaznijih fenomena zivota jer se njom celije umnozavaju. Na taj nacin je moguca zamena izumrlih celija, zarascivanje rana i regenerisanje tkiva i organa a deoba celije je i preduslov za seksualno i aseksualno razmnozavanje, kao i za naslednost i naslednu promenljivost. Na vaznost deobe celije u dinamici zivota ukazao je Rudolf Virhov koji je u kratkoj latinskoj recenici Omnis cellula e cellula istakao da sve celije proizilaze iz celija.

     Celija se deli ciklicno. Tradicionalno celijska deoba se smatra kao dogadjaj kojim celija majka prestaje da postoji a dve nove celije kceri otpocinju svoje postojanje :

     

  • U prvom ciklusu celija majka A0 anhilira dajuci dve celije kceri : 2A1;
  • u drugom ciklusu deobe svaka celija majka A1 anhilira dajuci po dve celije kceri : 4 A2 ;
  • u trecem ciklusu deobe svaka celija majka A2 anhilira dajuci po dve celije kceri : 8 A3 ;
  • i tako dalje ...

  • U n - tom ciklusu deobe svaka celija majka An-1 anhilira dajuci po dve celije kceri : 2 A n.
  •      

    Graficki prikaz celijske deobe je sledeci :

         

    klasicna deoba zive celije

         

    Brojni niz klasicnog shvatanja deobe zive celije je niz geometrijske progresije :

    1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 ...

         Prema ovom usvojenom shvatanju deobe zive celije svaki ciklus dovodi do anhilacije postojecih celija ( bez ostatka lesa ) i pojave novih celija koje su sve iste generacije. Sam organizam kojem pripadaju celije generacije A0 stari po zakonu t=n*T , gde je n broj ciklusa a T period ciklusa, dok je starost samih celija prema usvojenom shvatanju deobe zive celije uvek T. To je ocigledna protivrecnost a ovakvo shvatanje deobe zive celije podrazumeva besmrtnost.

         Anhilacija roditelja se odbacuje kada je u pitanju razmnozavanje visecelijskih organizama. Kada zenka polaze neoplodjena jaja iz kojih se razvijaju muzjaci, niko nece misliti da je tim cinom razmnozavanja prvobitna zenka anhilirana vec se muzjaci smatraju potomcima postojece majke. Razmnozavanje visecelijskih organizama je deoba kojom roditelj zadrzava svoju generacijsku starost dok je potomak povecava za jedno generacijsko koleno.

         Prirodno razmnozavanje organizma je univerzalni zakon o celijskoj deobi. Zasniva se na dva postulata :

  • Deoba zive celije ima za posledicu dve celije razlicite starosti;
  • Nije moguce umnozavanje zivog entiteta na taj nacin da nastanu entiteti iste starosti.
  •      Nase polaziste pri razmatranju brojnog zakona celijske deobe jesu klasicna fizioloska shvatanja deobe zive celije ali i shvatanje po kojem celija majka daje jednog potomka svoje starosti i drugog naredne generacijske starosti.

         

  • U prvom ciklusu deobe, n=1 , celija majka A0 daje kao potomstvo celiju svoje generacije A0 i celiju naredne generacije A1 , tako da imamo : A0 + A1 .
  • U drugom ciklusu deobe, n=2 , celija majka daje kao potomstvo celiju svoje generacije A0 i celiju naredne generacije A1 . Celija majka A1 daje kao potomstvo celiju svoje generacije i celiju naredne generacije A2 . Imamo tri generacije celija : A0 + 2A1 + A2 .
  • U trecem ciklusu deobe, n=3 , celija majka A0 daje kao potomstvo celiju svoje generacije A0 i celiju naredne generacije A1 . Dve celije majke 2A1 daju kao potomstvo dve celije svoje generacije 2A1 i dve celije naredne generacije 2A2 . Celija majka A2 daje kao potomstvo celiju svoje generacije A2 i celiju naredne generacije A3 . Imamo cetiri generacije celija : A0 + 3A1 + 3A2 + A3 .
  • U cetvrtom ciklusu deobe zive celije, n=4 , celija majka A0 daje kao potomstvo celiju svoje generacije A0 i celiju naredne generacije A1 . Tri celije majke 3A1 daju kao potomstvo tri celije svoje generacije 3A1 i tri celije naredne generacije 3A2 . Tri celije majke 3A2 daju kao potomstvo tri celije svoje generacije 3A2 i tri celije naredne generacije 3A3 . Celija majka A3 daje kao potomstvo celiju svoje generacije A3 i celiju naredne generacije A4 . Imamo pet generacija celija : A0 + 4A1 +6A2 +4A3 +A4 .
  • U petom ciklusu deobe zive celije, n=5 , imacemo sest generacija celija : A0 + 5A1 + 10A2 + 10A3 +5A4 + A5 .
  • U setom ciklusu deobe zive celije, n=6 , imacemo sedam generacija celija : A0 + 6A1 + 15A2 + 20A3 + 15A4 + 6A5 + A6 .
  •      

         I tako dalje ... Graficki prikaz tako shvacene deobe zive celije je sledeci :

         

    deoba zive celije po Paskalovom trouglu

         

    Brojni zakon rodoslova zive celije je osnovni aritmeticki trougao - Paskalov trougao :

         

    1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
    1 6 15 20 15 6 1
    1 7 21 35 35 21 7 1
    1 8 28 56 70 56 28 8 1
    1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

         

         Paskalov trougao kao arhetipski brojni obrazac deobe zive celije je zakon umnozavanja i izgradnje. Po ovom obrascu radjaju se i planete Suncevog sistema a trougao je i brojni obrazac strukture atoma.Paskalov trougao svedoci jedinstvo postojeceg i on je nit koja povezuje nezivo i zivo.

         Ako sumiramo brojeve na dijagonalama Paskalovog trougla dobijamo niz Fibonacijevih brojeva. Paskalov trougao je brojni obrazac razmnozavanja organizama i s obzirom na njegovu vezu sa Fibonacijevim brojevima, nije iznenadjenje sto se Fibonacijevi brojevi javljaju kao prirodni odnos u rasporedu listova kod biljaka. Ako svaki Fibonacijev broj podelimo narednim Fibonacijevim brojem, dobijamo niz razlomaka :

    1/1 1/2 2/3 3/5 5/8 8/13 13/21 21/34 34/55 55/89 ...

         Vrednosti ovih razlomaka teze vrednosti zlatnog preseka i povezane su sa rasporedom listova kod biljaka. Kada na stabljici biljke rastu novi listovi oni stoje u obliku zavojnice ( spirale ) oko stabljike .

         

    raspored listova

         

         Fibonacijevi razlomci se javljaju kao kolicnik broja zaokreta spirale i broja medjuprostora izmedju listova . Posmatrajmo listove broj 1,4 ,9 koji se nalaze na izabranom pravcu duz stabljike sa listovima :

         

  • Broj medjuprostora izmedju listova broj jedan i cetiri je tri. Broj punih zaokreta spirale je dva. Fibonacijev razlomak je 2/3 .
  • Broj medjuprostora izmedju listova jedan i devet je osam. Broj punih zaokreta spirale je pet. Fibonacijev razlomak je 5/8 .
  • Broj medjuprostora izmedju listova broj cetiri i devet je pet. Broj punih zaokreta spirale od cetvrtog do devetog lista je tri. Fibonacijev razlomak je 3/5 .
  •      

         Priroda se brine za pravilan raspored listova na stabljici kako donji listovi ne bi bili zasenjeni donjim i kako bi se svetlo najbolje iskoristilo. Tako je , naprimer, broj zaokreta spirale kroz broj medjuprostora listova za borove iglice 5/8 i 8/13 a za belu radu taj odnos je 21/34.

         Paskalov trougao je idealni brojni obrazac deobe zive celije. Po njemu nulta celija A0 ima beskonacnu mogucnost deljenja i nikada ne umire . Takav pristup implicira besmrtnost celije i njenih potomaka. To, kao sto znamo, nije slucaj u prirodi. Zivi organizam ima ogranicene mogucnosti u pogledu razmnozavanja a takodje nije besmrtan nego posle izvesnog vremena umire. Realniji pristup razmatranju deobe zive celije zahteva korekcije po ugledu na zivot i razmnozavanje slozenijih organizama. Usvojimo sledeci model deobe zive celije :

         

    Majka celija nulte generacije A00 daje nakon prve deobe celiju majku starosti A01 i cerku celiju prve generacije A10. Majka celija A01 takodje poseduje reproduktivnu moc i daje majku celiju A02 i celiju cerku druge generacije A20 . Celija majka A02 ne poseduje vise mogucnost deobe i ona se u narednom ciklusu transformise u celiju majku A03 . U sledecem ciklusu ova celija majka umire . Razlikujemo dakle zrelu celiju , A02 , dve polno sposobne celije , A00 i A01 , i staru celiju , A03 .

         

    Slikovito prikazane nulto i prva generacija celija imaju formu nulte i prve vrste Paskalovog trougla. Prvi broj u indeksu oznake celije ukazuje na pripadnost a drugi broj ukazuje na starosnu dob odredjene celije :

         

    A00
    A01 A10

         

    Nase istrazivanje brojnog zakona deobe zive celije po usvojenom modelu reprodukcije zapocinjemo sa populacijom druge generacije :

         

  • U drugoj generaciji majka celija nulte generacije A01 daje majku celiju A02 i celiju cerku A10 . Istovremeno celija prve generacije A10 daje celiju A11 i celiju cerku A20 : A02+A10+A11+A20 . U drugoj generaciji imamo ukupno 4 jedinke .
  • U trecoj generaciji je sledeca populacija : A03+A11+A20+ A12+A20+A21+A30. Celija nulte generacije A02 nije imala deobu i samo se transformisala u stariju celiju A03 . Imamo ukupno 7 jedinki .
  • U cetvrtoj generaciji je sledeca populacija : A12+A20+A21+A30+A13+A21+A30+A22+A30+A31+A40 . Celija A03 je umrla i ona nema potomke u ovoj generaciji dok se celija A12 transformisala u celiju A13 . Imamo ukupno 11 jedinki .
  • U petoj generaciji imamo populaciju :A13+A21 +A30+A22+A30+A31+ A40+A22+A30+A31+A40+ A23+A31+A40+A32+A40+A41+ A50 . Imamo ukupno 18 jedinki .
  • U sestoj generaciji imamo sledece jedinke : A22+A30+A31+A40+A23+A31+ A40+A32+A40+A41+A50 +A23+A31+A40+A32+A40 +A41+A50+A32+A40+A41 +A50+A33+A41+A50+A42 +A50+A51+A60 . Imamo ukupno 29 jedinki .
  • i tako dalje ...
  •      

         Ukupan broj jedinki u pojedinim generacijama obrazuje niz brojeva :

    4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 ...

    Ovaj niz brojeva je poznat kao niz Lukasovih brojeva. To je rekurzioni niz sa osobinom da je svaki njegov clan jednak zbiru prethodna dva clana. U nasem usvojenom modelu deobe zive celije Lukasov niz brojeva se javlja kao brojni obrazac. Od vaznosti je i cinjenica da se Lukasovi brojevi mogu dovesti u vezu sa Fibonacijevim brojevima a takodje i sa Paskalovim trouglom.

         

         


       2001-2002 Radoslav Jovanovic        rasko55@ptt.yu                 updated:  6 May 2002.