Fibonačijevi Brojevi i Paskalov Trougao

 

Google
Search WWW Search milan.milanovic.org


Decimalni sistem i aritmeticki trougao


      Pet Fibonacijevih radova iz perioda posle 1200 godine su doprli do naseg doba od kojih treba izdvojiti knjigu Liber Abacci koju je kompletirao 1202 godine. U njoj on opisuje kako se vrse izracunavanja u decimalnom sistemu te je tako prvi uveo u Evropu upotrebu Indijsko - Arapskog brojnog sistema. To je pozicioni sistem koji danas koristimo, zasnovan na deset cifara i decimalnoj tacki kao i simbolu za nulu.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . 0

     U "Knjizi izracunavanja" Fibonaci opisuje pravila koja smo svi mi usvojili jos u osnovnoj skoli za sabiranje, mnozenje i deljenje brojeva. Metod izracunavanja koji se do tada koristio u Evropi bio je zasnovan na Rimskim brojevima i nije imao oznaku za nulu niti za decimalnu tacku. Sistem koji je Fibonaci uveo u Evropu dosao je iz Indije i Arabije i koristio je Arapske simbole za cifre.

      Izmedju 300 - te godine nove ere i 700 - te godine nove ere u Indiji je postalo uobicajeno pri racunanju prikazivati praznu kolonu abakusa sa jednom tackom koja odgovara onom sto je kasnije postalo nas znak nula. Njeno origalno ime sunja, sto znaci prazan, ukazuje na njeno poreklo. Vazna posledica uvodjenja takvog znaka ogleda se u cinjenici da se sada moglo prikazati koji polozaj zauzima neka kolona u abakusu, a da se nisu morali upotrebiti novi simboli kao sto su to M,C,X u Rimskom sistemu. Tako se doslo do prvog pravog pozicionog sistema.

      Ukratko, broj znakova razlicitih od nule za jedan je manji od osnove, to jest devet ako je osnova 10. Interesantno je da je brojni sistem Maja Indijanaca takodje imao oznaku za nulu ali nije bio pozicioni. Velike prednosti brojnog sistema koji dugujemo Indijskoj civilizaciji posledica su cinjenice sto je znak i polozaj znakova u odredjenom redosledu oznacavao ne samo broj plocica na sipki abakusa nego i polozaj te sipke na racunarskom stalku. Indijskom abakusu dugujemo za nastanak pozicionog sistema.

     Broj 423 znaci (4*100) + (2*10) + (3*1) ako je osnova sistema 10. Pravilo za upotrebu abakusa sa sipkama ( ili zlebovima ) ne zavisi od toga koliki je broj plocica koje pojedina sipka moze da primi da bi bila popunjena. Neki smatraju da je osnova brojnog sistema koji danas upotrebljavamo slucajna okolnost. Veca osnova od 10 ( na primer 20 ili 60 ) imala bi za posledicu nastajanje glomaznih abakusa i opsirnih tabela za sabiranje, oduzimanje i mnozenje. Manja osnova sa druge strane zahtevala bi vise prostora za ispisivanje nekog broja. Na primer za osnovu 3 ono sto u sistemu sa osnovom 10 pisemo kao 423 bilo bi : (1* 243) + (2* 81) + (2* 9) +(0* 3) + (0* 1) , a to se u sistemu sa osnovom 3 moze napisati kao 12200.

Da je osnova 10 racionalna za primenu u covekovom misaonom i delatnom okruzenju to nas ni malo ne cudi ali ne verujemo ni u kakvu slucajnost izbora broja 10 za osnovu danas vladajuceg brojnog sistema. Taj je sistem doveo do neverovatnog matematickog napretka u poslednjih pet stotina godina i posredno uzrokovao i omogucio nesluceni naucni i tehnicki razvoj. Danasnji racunari, doduse, rade u sistemu sa osnovom 2 sto predstavlja najvece opterecenje za memoriju. Tako je na primer : 8192 = 10 000 000 000 000.

Da je misaoni proces kod coveka povezan sa binarnim sistemom i da je velika prirodna dijalektika takodje odredjena istim, poznato je. Ipak, u spoljasnjem covekovom okruzenju brojni sistem sa osnovom 10 i dalje je dominantan u primeni.

Iracionalni tokovi covekove podsvesti i nadsvesti u periodu velike ekspanzije nase vrste nisu mogli drugacije kulminirati nego izranjanjem decimalnog sistema iz arhetipskih naslaga kolektivno-nesvesnog i njegovom sirokom primenom u matematici.

Neko ce reci da je osnova standardnog brojnog sistema 10 jer je deset prstiju na covekovim rukama. To je sasvim razumno zapazanje jer covek i pocinje racunanje sa prstima ruke.Promenicemo tada nase pitanje u sledece: Zasto covek ima deset prstiju na rukama. Potrazimo dalje odgovore ali se i pomirimo sa cinjenicom da do apsolutnog resenja ove zivotne enigme necemo stici.

Decimalni pozicioni sistem koristio je deset originalnih Arapskih cifara i pozicionu metodu poznatu Indijskim Hindu matematicarima mnogo godina pre nego sto je stigao u Evropu. Rani Persijski matematicar Al-Khowarizmi napisao je zbirku aritmetickih pravila za decimalni sistem nazvanu Kitab al jabr w` muqabala, (Pravila za rekonstruisanje i redukciju). Ime Persijskog autora je danas prisutno u reci algoritam i znaci tacan niz instrukcija koje se izvrsavaju u izracunavanju.

Jedna od najzanimljivijih brojnih figura u matematici, koja je krajem XVII veka postala sredisnja tacka razvoja tri grane matematike (proucavanja beskonacnih redova,racuna konacnih diferencija i teorije verovatnoce ), jeste aritmeticki ili Paskalov trougao.

     

Pascal

     

Blaz Paskal je rodjen u Klermontu, Francuska, 19 juna 1623. godine, a umro je u Parizu, 19 avgusta 1662. godine. Paskal je kompletirao svoj rad o aritmetickom trouglu 1653. godine ali je on stampan 1665. godine, posthumno. Paskalov trougao se moze definisati kao brojni trougao koji cine binomni koeficijenti.

     

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

     

Postoje neki dokazi da je Arapski astronom, pesnik i matematicar, Omar Hajam, poznavao ovaj brojni trougaoni raspored jos u XI veku. Verovatno je brojni trougao krenuo iz Kine preko Arapskog sveta u Evropu. Kineski prikaz binomnih koeficijenata zabelezen je prvi put u Evropi na naslovnoj stranici jedne davno stampane aritmetike od Apianusa (1527. godine).

Aritmeticki trougao se prema modernim shvatanjima javlja kao matematicki obrazac razmnozavanja zivih bica, a njegove kolone sadrze odnose elektronske i nukleonske strukture atoma. Iz trougla se izvode nista manje znacajni Fibonacijevi brojevi i odnos zlatnog preseka u kome mnogi jos od Pitagorejaca sagledavaju skraceni oblik pulsiranja i rasta. Zlatni presek (bozanska proporcija), Fibonacijevi brojevi i aritmeticki trougao jesu trojstvo u jednome koje predstavlja karakteristicni zakon zivih formi.

U organskoj prirodi rast zivih organizama odvija se po zakonu zlatnog preseka i drugih proporcija iz istog srodstva. Na primeru ananasovog ploda, primeru lista ljutica i rastavica, logaritamske spirale puza islicnog, vidi se da je zlatni presek opsti zakon za organsku a verovatno i za neorgansku prirodu. Matematicke forme neorganske prirode ( spiralni rast kristala, na primer ) ukazuju na to. Osobine neprekidnog deljenja ili deljenja po zlatnom preseku manifestuju se i u sklopu covecijeg tela.

     

     

Stvaralastvo arhitekte i slikara u duhu zlatnog preseka smatralo se produzenjem opsteg stvaralastva prirode. Otuda i primena zlatnog preseka u umetnosti kao prirodne proporcije koja odslikava sustinu aritmetickog trougla.

Potrazicemo vezu izmedju aritmetickog trougla kao osnovnog brojnog obrasca prirode i decimalnog brojnog sistema koji je osnovni brojni sistem u matematici i svakodnevnoj covekovoj praksi. U tom cilju zapitajmo se koliko ima u decimalnom brojnom sistemu jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih,petocifrenih i tako dalje , brojeva ciji zbir cifara daje kao zbir broj jedan, dva, tri, cetiri , pet ... To je stari kabalisticki postupak za odredjivanje numeracije reci preko sefirota. Odgovor na to pitanje ukazuje na vezu aritmetickog trougla i decimalnog brojnog sistema :

Zbir cifara sledecih decimalnih brojeva je jednak jedinici :

     

jednocifreni brojevi :
1
dvocifreni brojevi :
10
trocifreni brojevi :
100
cetvorocifreni brojevi :
1000
petocifreni brojevi :
10000
.................................... ............................

     

Ukupan broj svih jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje, brojeva ciji je zbir cifara jednak jedinici - cini prvu kolonu brojeva Paskalovog aritmetickog trougla :

     

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

     

Zbir cifara sledecih decimalnih brojeva jednak je dvojci :

jednocifreni brojevi :
2
dvocifreni brojevi :
11
20
trocifreni brojevi :
110
101
200
cetvorocifreni brojevi :
1100
1010
10001
2000
petocifreni brojevi :
10100
10100
10010
10001
20000
............................ ............... ............ ............ ............ ............

     

Ukupan broj svih jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih , cetvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje, brojeva ciji je zbir cifara jednak dvojci - cini drugu kolonu Paskalovog aritmetickog trougla :

     

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

     

Zbir cifara sledecih decimalnih brojeva jednak je trojci :

     

jednocifreni brojevi:
3
dvocifreni brojevi :
12
21
30
trocifreni brojevi :
102
120
210
201
300
111
cetvorocifreni brojevi :
1200
1020
1002
2100
2010
2011
1110
1101
1011
3000
petocifreni brojevi :
12000
10200
10020
10002
21000
20100
20010
20001
11100
11001
10101
10011
10110
10101
30000

     

Ukupan broj svih jednocifrenih,dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje decimalnih brojeva ciji je zbir cifara jednak trojci- cini trecu kolonu aritmetickog trougla :

     

1 3 6 10 15 21 28 36 ...

     

Na isti nacin mozemo dokazati i da ukupan broj svih jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje decimalnih brojeva ciji je zbir cifara jednak cetvorci - cini cetvrtu kolonu brojeva aritmetickog trougla :

     

1 4 10 20 35 56 84 ...

     

Ukupan broj svih jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih, petocifrenih i tako dalje decimalnih brojeva ciji je zbir cifara jednak petici - cini petu kolonu brojeva aritmetickog trougla :

     

1 5 15 35 70 126 ...

     

Trazeci ukupan broj jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih, cetvorocifrenih, petocifrenih itd. decimalnih brojeva ciji je zbir cifara jednak sestici, sedmici, osmici,devetki, desetki itd., dobijamo sestu, sedmu, osmu, devetu, desetu itd. kolonu brojeva Paskalovog aritmetickog trougla. To jasno pokazuje da je u strukturi pozicionog decimalnog sistema ugradjen osnovni brojni obrazac u prirodi : aritmeticki trougao. Decimalni brojni sistem je prirodni brojni sistem.

     

        

        

        

        

  2001-2005 Radoslav Jovanovic                 created:  January 2005.