Mit der direkten Multiplikation kann die Genauigkeit der folgenden binomischen Entwicklungen überprüft werden:
| (a+b)0 | = | 1 | ||||||||
| (a+b)1 | = | 1*a | + | 1*b | ||||||
| (a+b)2 | = | 1*a2 | + | 2*ab | + | 1*b2 | ||||
| (a+b)3 | = | 1*a3 | + | 3*a2b | + | 3*ab2 | + | 1*b3 | ||
| (a+b)4 | = | 1*a4 | + | 4*a3b | + | 6*a2b2 | + | 4*ab3 | + | 1*b4 |
Wenn die Zahlen aus der binomischen Entwicklungen in die Felder der rechnerischen Tafel umgesetzt werden, entsteht das folgende Zahlendreieck :
1 |
1 |
|||||||||||
1 |
1 |
2 |
||||||||||
1 |
2 |
1 |
4 |
|||||||||
1 |
3 |
3 |
1 |
8 |
||||||||
| 1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
16 |
|||||||
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
32 |
||||||
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
64 |
|||||
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
128 |
||||
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
Es gibt Nachweise, dass dieses Zahlendreieck dem arabischen Astronom, Dichter und Mathematiker Omar Haiam noch im XI Jahrhundert bekannt wurde. Wahrscheinlich ist das Zahlendreieck aus China über Arabien nach Europa gekommen. Die chinesische Darstellung der binomischen Koeffizienten, wurde erstmals ( im Jahr 1527 ) auf der Titelseite der Europäischen Arithmetic von Apanius herausgegeben. Diese Darstellung wird auch Pascalsches Zahlendreieck genannt, weil es sich in Pascals, nach seinem Tod veröffentlichtem, Werk ( im Jahr 1665 ) über die figurativen Zahlen befindet. Dieses Zahlendreieck ist am Ende des XVII Jahrhunderts der Mittelpunkt der Entwicklung von drei mathematischen Richtungen geworden : Untersuchung der unendlichen Reihen, Berechnung der endlichen Differentiale und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Die erste Spalte des arithmetischen Dreieck ist die Spalte der Zahl ``eins``. Figurativ stellt die Zahl ``eins`` einen Punkt dar. In folgendem Dreieck sind die Spalten von der Zahl ``eins`` ausgefüllt :
| 1 | 1 | |||||||||
| 1 | 1 | 2 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 3 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 6 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 | |||
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... |
Die Addition der Basen ergibt die zweite Spalte des arithmetischen Dreiecks, die Spalte der natürlichen Zahlen : 1,2,3,4,5,6,7 ... Diese Reihe ist, figurativ, eine gerade Linie. Damit ist das nächste Dreieck erfasst :
1 |
1 |
|||||||||
2 |
1 |
3 |
||||||||
3 |
2 |
1 |
6 |
|||||||
4 |
3 |
2 |
1 |
10 |
||||||
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
15 |
|||||
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
||||
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
28 |
|||
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
Weitere Addition der Basen stellt die dritte Spalte dar, die Spalte der sogenannten dreieckigen Zahlen :1,3,6,10,15,21,28 ... Die dreieckkigen Zahlen symbolisieren ein Dreieck und eine Fläche. Die folgende Darsttellung ist ein Dreieck in der Ebene, dessen Spalten aus den dreieckigen Zahlen bestehen :
1 |
1 |
|||||||||
3 |
1 |
4 |
||||||||
6 |
3 |
1 |
10 |
|||||||
10 |
6 |
3 |
1 |
20 |
||||||
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
35 |
|||||
21 |
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
56 | ||||
28 |
21 |
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
84 |
|||
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
Diesmal ergibt das Addieren der Basen die tetraedischen Zahlen der vierten Spalte des arithmetischen Dreiecks. Die Reihen dieser Zahlen symbolisieren Tetraeder bzw. Pyramiden und Dimensionsweise das Volumen : 1,4,10,20,35,56,84 ... Das gleiche Vorgehen kann auch auf die anderen Spalten des arithmetischen Dreiecks angewendet werden, wobei ein n - dimensionaler Raum gebildet wird. Die Integration ist die Verbindung zwischen den benachbarten Spalten.
In ``Das Buch über das Rechnen`` wurde das praktische arithmetische Problem vorgestellt :Ein Paar Hasen ist in einem begrenzten Raum eingesperrt. Dieses Hasepaar produziert jeden Monat ein neues Hasenpaar. Falls die Hasen nicht sterben, wird gefragt : Wie viele Hasenpaare nach 20 Monaten existieren? Die Antwort aus dem Buch :
| ..... |
Diese Zahlenreihe wurde vom französischen Mathematiker Edward Lucas (1842 - 1899 ) `` Fibonacci Zalen `` benannt. Er hat auch die Bildung des n - ten Gliedes, seine Verbindungen mit zwei vorhergehenden Gliedern notwendig :
| F ( n ) | = | F ( n - 1 ) | + | F ( n - 2 ) |
Wenn das doppelte Pascalsches Dreieck aufgeschrieben wird und wenn einige Teile addiert werden, kann man vermuten, wo Fibonacci auf seinen Reisen diese Reihe gefunden hat :
| 1 | 1 |
|||||||||
| 1 | 1 | 2 |
||||||||
| 1 | 1 | 1 | 3 |
|||||||
| 1 | 1 | 2 | 1 | 5 |
||||||
| 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 8 |
|||||
| 1 | 1 | 4 | 3 | 3 | 1 | 13 |
||||
| 1 | 1 | 5 | 4 | 6 | 3 | 1 | 21 |
|||
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... |
Mit der Raum - and Zahlenspielerei wird wieder die Verbindung zwischen der arithmetischen Reihe und den Fibonacci Zahlen gezeigt. In folgender Variante wird das Pascalsche Dreieck mit dem Addieren der Basen dargestellt :
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
||||||||
1 |
2 |
3 |
||||||||
1 |
3 |
1 |
5 |
|||||||
1 |
4 |
3 |
8 |
|||||||
1 |
5 |
6 |
1 |
13 |
||||||
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... |
Das Addieren der Basen des Pascalschen Dreiecks ergibt die Fibonacci Zahlen : R.Knott: The Fibonacci Numbers in Pascal's Triangle.
Es existiert eine Rückbildung zwischen den Fibonacci Zahlen und dem arithmetischen Dreieck mit der großen Anzahl der rekursiven Formeln für Fibonacci Zahlen :
F(n+1) |
= |
1*F(n) |
+ |
1*F(n-1) |
||||||||||
F(n+2) |
= |
1*F(n) |
+ |
2*F(n-1) |
+ |
1*F(n-2) |
||||||||
F(n+3) |
= |
1*F(n) |
+ |
3*F(n-1) |
+ |
3*F(n-2) |
+ |
1*F(n-3) |
||||||
F(n+4) |
= |
1*F(n) |
+ |
4*F(n-1) |
+ |
6*F(n-2) |
+ |
4*F(n-3) |
+ |
1*F(n-4) |
||||
F(n+5) |
= |
1*F(n) |
+ |
5*F(n-1) |
+ |
10*F(n-2) |
+ |
10*F(n-3) |
+ |
5*F(n-4) |
+ |
1*F(n-5) |
||
F(n+6) |
= |
1*F(n) |
+ |
6*F(n-1) |
+ |
15*F(n-2) |
+ |
20*F(n-3) |
+ |
15*F(n-4) |
+ |
6*F(n-5) |
+ |
1*F(n-6) |
| .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... | .... |
Es wird bemerkt, dass in diesen rekursiven Formeln auch die Struktur des Pascalschen Dreieckes eingefügt ist, was einen deutlichen Beweis für die Verbindung zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Fibonacci Zahlen darstellt.
Mit der Kombination der Fibonacci Zahlen kann man sogenannte, mit der rekursiven Relation angegebene, Lucas`sche Zahlen bekommen :
| L(n) | = | L(n-1) | + | L(n-2) |
Das ist die Kombination der Fibonacci Zahlen, welche, in der Addition, die Lucas`sche Zahlen ergeben :
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
.... |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
.... |
|
1 |
3 |
4 |
7 |
11 |
18 |
29 |
47 |
76 |
.... |
Es wird aus der Summe von vier Fibonacci Zahlen eine Reihe gebildet :
| F(n) | + | F(n+1) | + | F(n+2) | + | F(n+3) |
Bzw.
| (1+1+2+3) | , | (1+2+3+5) | , | (2+3+5+8) | , | (3+5+8+13) | , | (5+8+13+21) | , | ..... |
Man bekommt eine Reihe der Lucas`sche Zahlen L(n+3)
| 7 | , | 11 | , | 18 | , | 29 | , | 47 | , | 76 | , | 123 | , | .... |
Die Verbindung zwischen Fibonacci und Lucas`schen Zahlen wird mit der Reihe von vier Lucas`schen Zahlen gebildet :
| L(n) | + | L(n+1) | + | L(n+2) | + | L(n+3) |
Bzw.
| (1+3+4+7) | , | (3+4+7+11) | , | (4+7+11+18) | , | (7+11+11+18) | , | (7+11+18+29) | , | ..... |
Es ergibt sich eine Fibonacci Zahlenreihe 5 * F(n+3)
| 5 * | ( | 3 | , | 5 | , | 8 | , | 13 | , | 21 | , | ...... | ) |
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© 2001-2002 Radoslav Jovanovic Übersetztung: Zlatko Milic&Andreas Pittner August 2002. |