|
|
Fransis Eduard Anatol Lucas je rodjen 4
Aprila 1842 u Amiensu, Francuska, gde je i stekao obrazovanje.
Nakon toga je radio u Pariskoj Opservatoriji. Sluzio je kao
artiljerijski oficir u Francusko - Pruskom ratu ( 1870 - 1871 ) a
zatim postao profesor matematike na Lycée Saint Louis u Parizu.
Najpoznatiji je po svojim rezultatima u oblasti teorije brojeva.
Proucavao je Fibonacijevu seriju brojeva i njoj pridruzenu
Lukasovu seriju. Lukasova serija brojeva se definise skoro
identicno kao Fibonacijeva serija brojeva - svaki Lukasov broj je
zbir prethodna dva Lukasova broja. Razlika u definiciji je sto
Lukasova serija pocinje sa 2 i 1 umesto sa 0 i 1:
|
L(n+1) = L(n-1) + L(n) ,
ako je n>1 and L(0) = 2, L(1) = 1
|
Ovo je na izgled mala razlika ali se proucavanjem Lukasove serije
uvidja da je razlika ustvari kvalitativna:
| 1, |
3, |
4, |
7, |
11, |
18, |
29, |
47, |
76, |
123, |
199, |
322, |
521, |
843, |
......... |
Prema nekim autorima Lukas je pronasao Binet-ovu formulu :
Osim u oblasti teorije brojeva Lukas je poznat i u zabavnoj
matematici po svom problemu Hanojska Kula. Njegovo delo
Récréations mathématiques ( 1882 - 1894 ) je postalo klasika u
toj oblasti.Umro je 3 Oktobra 1891 u Parizu.
Lukasovi brojevi imaju osobine slicne osobinama Fibonacijevih
brojeva. Svaki novi clan Lukasovog niza brojeva jednak je zbiru dva
prethodna clana. Takodje, kolicnik dva uzastopna Lukasova broja tezi
vrednosti Zlatnog Preseka :
Lukasovi brojevi se javljaju u razlicitim formulama za izracunavanje
Fibonacijevih brojeva. Naprimer :
|
|
| 5*F(n+2) |
= |
1*L(n) |
+ |
3*L(n+1) |
| 5*F(n+3) |
= |
3*L(n) |
+ |
4*L(n+1) |
| 5*F(n+4) |
= |
4*L(n) |
+ |
7*L(n+1) |
| 5*F(n+5) |
= |
7*L(n) |
+ |
11*L(n+1) |
| 5*F(n+6) |
= |
11*L(n) |
+ |
18*L(n+1) |
| ............... |
............... |
............... |
............... |
............... |
| 5*F(n+k) |
= |
L(k-1)*L(n) |
+ |
L(k)*L(n+1) |
|
Moguce je i Lukasove brojeve izraziti pomocu Fibonacijevih brojeva ,
sto ukazuje na njihovu medjusobnu povezanost. Postoji beskonacna serija
rekurzionih relacija za izracunavanje Lukasovih brojeva pomocu
Fibonacijevih brojeva. Koeficijenti u ovim jednacinama grade niz
Lukasovih brojeva :
|
| L(n+2) |
= |
1*F(n) |
+ |
3*F(n+1) |
| L(n+3) |
= |
3*F(n) |
+ |
4*F(n+1) |
| L(n+4) |
= |
4*F(n) |
+ |
7*F(n+1) |
| L(n+5) |
= |
7*F(n) |
+ |
11*F(n+1) |
| L(n+6) |
= |
11*F(n) |
+ |
18*F(n+1) |
| ............... |
............... |
............... |
............... |
............... |
| L(n+k) |
= |
L(k-1)*F(n) |
+ |
L(k)*F(n+1) |
|
|
Veza izmedju Lukasovih i Fibonacijevih brojeva je mnogostruka.
Prethodnim rekurzionim jednacinama simetricne su neke druge grupe
jednacina. Kao prvi primer navodimo rekurzione jednacine koje sluze za
izracunavanje Lukasovih brojeva ali sa Fibonacijevim brojevima kao
koeficijentima :
|
|
| L(n+2) |
= |
1*L(n) |
+ |
1*L(n+1) |
| L(n+3) |
= |
1*L(n) |
+ |
2*L(n+1) |
| L(n+4) |
= |
2*L(n) |
+ |
3*L(n+1) |
| L(n+5) |
= |
3*L(n) |
+ |
5*L(n+1) |
| L(n+6) |
= |
5*L(n) |
+ |
8*L(n+1) |
| ............... |
............... |
............... |
............... |
............... |
| L(n+k) |
= |
F(k-1)*L(n) |
+ |
F(k)*L(n+1) |
|
Kao drugi primer navodimo rekurzione jednacine za izrazavanje
Fibonacijevih brojeva preko , takodje, Fibonacijevih brojeva. Navodimo
niz rekurzionih formula koje ilustruju uzajamni odnos Fibonacijevih
brojeva :
|
| F(n+2) |
= |
1*F(n) |
+ |
1*F(n+1) |
| F(n+3) |
= |
1*F(n) |
+ |
2*F(n+1) |
| F(n+4) |
= |
2*F(n) |
+ |
3*F(n+1) |
| F(n+5) |
= |
3*F(n) |
+ |
5*F(n+1) |
| F(n+6) |
= |
5*F(n) |
+ |
8*F(n+1) |
| ............... |
............... |
............... |
............... |
............... |
| F(n+k) |
= |
F(k-1)*F(n) |
+ |
F(k)*F(n+1) |
|
|
Poznato je da se Fibonacijevi brojevi javljaju kao suma "osnova"
Paskalovog trougla:
|
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9 |
| 0
| 1
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 1
|
| 1
| 1
|
|
|
|
|
|
| |
| 2
|
|
| 1
| 2
| 1
|
|
|
|
| |
| 3
|
|
|
| 1
| 3
| 3
| 1
|
|
| |
| 4
|
|
|
|
| 1
| 4
| 6
| 4
| 1
| |
| 5
|
|
|
|
|
| 1
| 5
| 10
| 10
| 5 |
| 6
|
|
|
|
|
|
| 1
| 6
| 15
| 20 |
| 7
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| 7
| 21 |
| 8
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| 8 |
| 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55 |
Ovde je prikazana alternativna forma Paskalovog Trougla sa duplim
osnovama gde se takodje dobijaju Fibonacijevi brojevi:
|
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9 |
| 0
| 1
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 1
|
| 1
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 2
|
| 1
| 1
|
|
|
|
|
|
| |
| 3
|
|
| 1
| 1
|
|
|
|
|
| |
| 4
|
|
| 1
| 2
| 1
|
|
|
|
| |
| 5
|
|
|
| 1
| 2
| 1
|
|
|
| |
| 6
|
|
|
| 1
| 3
| 3
| 1
|
|
| |
| 7
|
|
|
|
| 1
| 3
| 3
| 1
|
| |
| 8
|
|
|
|
| 1
| 4
| 6
| 4
| 1
| |
| 9
|
|
|
|
|
| 1
| 4
| 6
| 4
| 1 |
|
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| .
| .
| .
| .
| . |
Sumiranjem brojeva duplih osnova Paskalovog Trougla mogu se
dobiti i Lukasovi brojevi:
|
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9 |
| 0
|
|
| 1
|
|
|
|
|
|
| |
| 1
|
| 1
| 1
|
|
|
|
|
|
| |
| 2
|
|
|
| 1
| 1
|
|
|
|
| |
| 3
|
|
| 1
| 2
| 1
|
|
|
|
| |
| 4
|
|
|
|
| 1
| 2
| 1
|
|
| |
| 5
|
|
|
| 1
| 3
| 3
| 1
|
|
| |
| 6
|
|
|
|
|
| 1
| 3
| 3
| 1
| |
| 7
|
|
|
|
| 1
| 4
| 6
| 4
| 1
| |
| 8
|
|
|
|
|
|
| 1
| 4
| 6
| 4 |
| 9
|
|
|
|
|
| 1
| 5
| 10
| 10
| 5 |
|
| .
| 1
| 3
| 4
| 7
| 11
| .
| .
| .
| . |
Postoji reciprocna veza izmedju Lukasovih brojeva i koeficijenata
Paskalovog Trougla. Postoji beskonacno mnogo rekurzionih relacija za
Lukasove brojeve:
|
L(n+1) |
= |
1*L(n) |
+ |
1*L(n-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(n+2) |
= |
1*L(n) |
+ |
2*L(n-1) |
+ |
1*L(n-2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(n+3) |
= |
1*L(n) |
+ |
3*L(n-1) |
+ |
3*L(n-2) |
+ |
1*L(n-3) |
|
|
|
|
|
|
|
L(n+4) |
= |
1*L(n) |
+ |
4*L(n-1) |
+ |
6*L(n-2) |
+ |
4*L(n-3) |
+ |
1*L(n-4) |
|
|
|
|
|
L(n+5) |
= |
1*L(n) |
+ |
5*L(n-1) |
+ |
10*L(n-2) |
+ |
10*L(n-3) |
+ |
5*L(n-4) |
+ |
1*L(n-5) |
|
|
|
L(n+6) |
= |
1*L(n) |
+ |
6*L(n-1) |
+ |
15*L(n-2) |
+ |
20*L(n-3) |
+ |
15*L(n-4) |
+ |
6*L(n-5) |
+ |
1*L(n-6) |
| .... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
.... |
Ocigledno je da je struktura Paskalovog Trougla ugradjena u ove
rekurzione relacije, koje sasvim pouzdano ukazuju na postojanje veze
izmedju koeficijenata Paskalovog Trougla i Lukasovih brojeva.
